【专题】Johnson

简介

Johnson算法是求解多源最短路的算法之一,核心操作是re-weight,适用于不包含负环(负权回路)的图。时间复杂度$O(nm+nmlog_{m})$。

Johnson算法

全源最短路常用方法是Floyd算法,时间复杂度$O(n^{3})$。当然我们也可以对每个顶点跑单源最短路。如果对每个顶点求一次Bellman-Ford算法,时间复杂度是$O(n^{2}m)$,似乎不如Floyd算法。如果是对每个顶点求一次Dijkstra算法,时间复杂度是$O(nm+nmlog_{m})$,看起来优于Floyd算法了。但是如何去除负边权的影响呢?

考虑一下直接把所有边权加个正数,但是显然不满足原图性质了:

直接加

这里提出一个re-weight操作,首先加上一个源点,并使其与所有顶点连通,新边权赋值为0,如下图:

加源

然后以新加顶点为源,跑Bellman-Ford算法,求出到其它顶点的最短路:

最短路

记录下最短路径长度h[] = {0, -3, 0, 0},删除刚刚新增加的结点。然后对原图边权进行处理,使用以下方法更新边权:$w’(u, v) = w(u, v) + (h[u] - h[v])$。

处理

这时,负边权的影响就被消除了,可以愉快的使用Dijkstra算法了。(懒一下,正确性请自行证明)。

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const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mxn = 1e3 + 5;

struct E {
int to, next, w;
} e[mxn];

int H[mxn], tot;

void add(int from, int to, int w) {
e[tot] = {to, H[from], w};
H[from] = tot++;
}

void graph_init(int n)
{
for(int i=1; i<=n; i++)
H[i] = -1;
tot = 0;
}

int h[mxn], num[mxn];
bool vis[mxn];
queue<int> q;

void spfa_init(int n)
{
for(int i=1; i<=n; i++){
h[i] = inf;
num[i] = 0;
}
}

int spfa(int s, int n)
{
h[s] = 0; q.push(s);
num[s] = vis[s] = 1;
while(!q.empty())
{
int u = q.front(); q.pop(); vis[u] = 0;
for(int i=H[u]; ~i; i=e[i].next){
int v = e[i].to, w = e[i].w;
if(h[u]+w < h[v]){
h[v] = h[u]+w;
if(!vis[v]){
q.push(v), vis[v] = 1;
if(++num[v] > n) return -1;
}
}
}
}
return 0;
}

int dis[mxn];
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int> >, greater<pair<int, int> > > pq;

void dijkstra_init(int n)
{
for(int i=1; i<=n; i++){
vis[i] = 0;
dis[i] = inf;
}
}

void dijkstra(int s, int n)
{
pq.push({dis[s]=0, s});
while(!pq.empty()){
int u = pq.top().second; pq.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u] = 1;
for(int i=H[u]; ~i; i=e[i].next){
int v=e[i].to, w=e[i].w;
if(!vis[v] && dis[u]+w < dis[v]){
dis[v] = dis[u]+w;
pq.push({dis[v], v});
}
}
}
}

int DIS[mxn][mxn];

int main()
{
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
graph_init(n);

for(int i=1; i<=m; i++)
{
int u, v, w;
scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
add(u, v, w);
}

for(int i=1; i<=n; i++)
add(0, i, 0);

spfa_init(n);
if(spfa(0, n) == -1)
{
printf("包含负权回路\n");
}
else
{
for(int u=1; u<=n; u++){
for(int i=H[u]; ~i; i=e[i].next){
e[i].w += h[u] - h[e[i].to];
}
}

for(int i=1; i<=n; i++){
dijkstra_init(n);
dijkstra(i, n);
for(int j=1; j<=n; j++){
DIS[i][j] = dis[j] - h[i] + h[j];
printf("%d ", DIS[i][j]);
}
printf("\n");
}
}

return 0;
}


/*
Sample Input:

4 5
1 2 -3
2 3 2
1 4 3
2 3 4
3 4 1


Sample Output:

0 -3 -1 0
1061109570 0 2 3
1061109568 1061109565 0 1
1061109567 1061109564 1061109566 0

*/
_/_/_/_/_/ EOF _/_/_/_/_/